FUNCIONES INVERSAS, REGLA DE LA CADENA Y TIPOS DE DERIVADAS

Objetivos:

Conocer y aplicar correctamente la regla de la cadena

Conocer las funciones inversas y los tipos de derivadas

Conocer que reglas que se aplican para resolver cada derivada

Desarrollar derivadas aplicando los criterios correspondientes

Adquirir destreza en el desarrollo de derivadas

Subtemas

Derivada de funciones inversas

Regla de la cadena

Derivadas: derivadas de funciones implícitas

Derivada de funciones de la forma f(x)^g(x)

            Derivadas de ecuaciones parimétricas

Derivas de orden superior

DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS

Si f y g son funciones inversas, es decir:

En la práctica, para derivar una función y=f(x) a partir de su función inversa, podemos seguir los siguientes pasos:

 1.  Buscamos la función inversa de y = f(x), que escribiremos de la forma x = g(y).

 2.  Hacemos x' = g'(y).

 3.  Usando lo anterior, y'=1/x'.

 4.  Sustituimos x' por g'(y) y operamos.

 5.  Por último sustituimos x por g(y) y habremos acabado.

EJEMPLO:

 1.  Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen x

La función inversa de la dada es:

REGLA DE LA CADENA

EJEMPLOS

· 

DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

DERIVADA DE FUNCIONES DE LA FORMA f(x)^g(x)

DERIVADAS DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Se denomina ecuación paramétrica en donde cada valor de t le corresponde un punto p en el plano XY.

Parametrizamos la función f(x) y encontramos que:

Entonces si derivamos cada una de las componentes con respecto de  obtenemos lo siguiente:

  

 DERIVAS DE ORDEN SUPERIOR

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podríamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

Se utiliza las siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior

Tareas realizadas:

·         Realizar 30 ejercicios en total, abordando los temas: regla de la cadena, derivadas implícitas, derivadas de la forma f(x)g(x), derivadas de ecuaciones parimétricas derivadas de orden superior y rectas tangentes

Libros consultados

·        Análisis matemático, Eduardo Espinoza Ramos, Lima Perú

Temas conflictivos:

Derivada de rectas tangentes

Evaluaciones y comentarios:

No se abordo completamente derivadas de rectas tangentes sin embargo en el resto de materia, los temas tratados se han efectuado sin mayor inconveniente.