FUNCIONES INVERSAS, REGLA DE LA CADENA Y TIPOS DE DERIVADAS

Objetivos:

Conocer y aplicar correctamente la regla de la cadena

Conocer las funciones inversas y los tipos de derivadas

Conocer que reglas que se aplican para resolver cada derivada

Desarrollar derivadas aplicando los criterios correspondientes

Adquirir destreza en el desarrollo de derivadas

Subtemas

Derivada de funciones inversas

Regla de la cadena

Derivadas: derivadas de funciones implícitas

Derivada de funciones de la forma f(x)^g(x)

            Derivadas de ecuaciones parimétricas

Derivas de orden superior

DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS

Si f y g son funciones inversas, es decir:

En la práctica, para derivar una función y=f(x) a partir de su función inversa, podemos seguir los siguientes pasos:

 1.  Buscamos la función inversa de y = f(x), que escribiremos de la forma x = g(y).

 2.  Hacemos x' = g'(y).

 3.  Usando lo anterior, y'=1/x'.

 4.  Sustituimos x' por g'(y) y operamos.

 5.  Por último sustituimos x por g(y) y habremos acabado.

EJEMPLO:

 1.  Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen x

La función inversa de la dada es:

REGLA DE LA CADENA

EJEMPLOS

· 

DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

DERIVADA DE FUNCIONES DE LA FORMA f(x)^g(x)

DERIVADAS DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Se denomina ecuación paramétrica en donde cada valor de t le corresponde un punto p en el plano XY.

Parametrizamos la función f(x) y encontramos que:

Entonces si derivamos cada una de las componentes con respecto de  obtenemos lo siguiente:

  

 DERIVAS DE ORDEN SUPERIOR

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podríamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

Se utiliza las siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior

Tareas realizadas:

·         Realizar 30 ejercicios en total, abordando los temas: regla de la cadena, derivadas implícitas, derivadas de la forma f(x)g(x), derivadas de ecuaciones parimétricas derivadas de orden superior y rectas tangentes

Libros consultados

·        Análisis matemático, Eduardo Espinoza Ramos, Lima Perú

Temas conflictivos:

Derivada de rectas tangentes

Evaluaciones y comentarios:

No se abordo completamente derivadas de rectas tangentes sin embargo en el resto de materia, los temas tratados se han efectuado sin mayor inconveniente.

LA DERIVADA

Objetivos:

Conocer en qué consiste la derivada de una función

Conocer que reglas que se aplican para resolver la derivada

Desarrollar derivadas aplicando los criterios correspondientes

Adquirir destreza en el desarrollo de derivadas

Subtemas

Definición de la derivada

Reglas para encontrar las derivadas

 Determinar la derivada de una función

Derivadas laterales

DEFINICIÓN DE LA DERIVADA

 La derivada es una razón de cambio con la cual podemos determinar el comportamiento de una función midiendo la pendiente de la recta tangente.

La derivada de una función, en principio, puede ser calculada de la definición, mediante el cociente de diferencias, y después calcular su límite. En la práctica, únicamente las derivadas de unas pocas funciones son conocidas, las derivadas de otras funciones son fáciles de calcular utilizando reglas para obtener derivadas de funciones más complicadas de otras más simples.

 La derivada de una función esta expresada como:

REGLAS PARA ENCONTRAR LAS DERIVADAS

Algunas de las reglas más básicas de la derivada son las siguientes:

DETERMINAR LA DERIVADA DE UNA FUNCION

El proceso de encontrar la derivada se llama “diferenciación”.

La mayor parte de los cálculos de derivadas requieren tomar eventualmente la derivada de algunas funciones comunes. Algunas de las más frecuentes funciones de una variable real usadas y sus derivadas son:

DERIVADAS LATERALES

Una función es derivable en un punto si y solo si es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden

Tareas realizadas:

·         Con la definición de derivada demostrar las derivadas de funciones básica

·         Desarrollar una tabla con las principales derivadas

Libros consultados

·        Análisis matemático, Eduardo Espinoza Ramos, Lima Perú

Temas conflictivos:

No hubo problemas en la comprensión del tema

Evaluaciones y comentarios:

El día lunes 09 de septiembre se evaluó los conocimientos con una prueba que abordaba los temas: continuidad, el número e, límites trigonométricos y derivabilidad. Los temas tratados en esta semana se ha han efectuado satisfactoriamente sin inconvenientes en el desarrollo de los ejercicios.

EL NÚMERO e, CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCION

Objetivos:

Conocer la definición del numero e

Conocer y aplicar correctamente las condiciones y propiedades del numero e

Desarrollar  límites que comprendan el numero e

Subtemas:

·         el numero e

·         continuidad de una función

·         propiedades de la continuidad en un punto

·         discontinuidad de una función

·         tipos de discontinuidad

EL NÚMERO e:

El número e se define como el límite de: (1+1/n)ⁿ cuando n tiende al infinito, es decir:

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN:

Una función es continua en un punto si y solo si se cumple las tres condiciones siguientes:

Nota: cuando una de las tres condiciones o mas no se cumple, se dice que la función f es discontinua en el punto x=xo

PROPIEDADES

Considerando dos funciones f y g continua x=xo:

1.     f(+/-)g es continua en el punto x=xo

2.    k f es continua en el punto x=xo, k pertenece a R

3.    f.g es continua en el punto x=xo

DISCONTINUIDAD

Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua.

TIPOS DE DISCONTINUIDAD

1.    discontinuidad evitable o removible

Cuando: existe el número 

2.    discontinuidad no evitable o irremovible:

Discontinuidad de primera especie: si existe los limites laterales finitos y diferentes

Discontinuidad de segunda especie: si no existe el límite o si uno de los límites es más o menos infinito.

Tareas realizadas:

·         analizar la continuidad de la función

·         determinar los valores de x para los cuales la función  es discontinua

Libros consultados:

• Análisis matemático, Eduardo Espinoza Ramos, Lima Perú

Temas conflictivos:

Construcción de graficas de la continuidad y discontinuidad

Evaluaciones y comentarios:

La clase fue eficaz, no hubo mayor problema en la comprensión del tema.

LIMITES TRIGONOMÉTRICOS

Objetivos:

Conocer en qué consiste un límite trigonométrico

Conocer que teoremas se aplican en estos límites

Desarrollar límites aplicando los teoremas correspondientes

Adquirir destreza en el desarrollo de límites trigonométricos

Subtemas

·         Definición de un límite trigonométrico

·         Teoremas aplicados a límites trigonométricos

·         Procedimiento para resolver límites trigonométricos

DEFINICIÓN DE UN LÍMITE TRIGONOMÉTRICO

Se considera limite trigonométrico al límite en el cual la función f(x), es una función trigonométrica. Ejemplo:

Para el cálculo de los limites trigonométricos es necesario tener presenta los teoremas que se cumplen en esta clase de limites

TEOREMAS APLICADOS A LIMITES TRIGONOMÉTRICOS

Para el cálculo de este tipo de límites se pueden aplicar los siguientes teoremas:

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER LIMITES TRIGONOMÉTRICOS

Generalmente los límites trigonométricos expresan indeterminación para lo cual se procede de la siguiente manera:

1.    se hace un análisis previo para demostrar que  se trata de una indeterminación

2.    se realiza operaciones de multiplicación con el fin de lograr aplicar los teoremas en dichas funciones

3.    se analiza y si es el caso se aplican los criterios anteriormente aprendidos como: funciones trigonométricas del ángulo doble, del ángulo mitad entre otras, con el fin de lograr que la función se exprese de tal manera, en la cual se puedan aplicar los teoremas

4.    Se aplica los teoremas y calculamos el valor resultante

5.    Finalmente se expresa el resultado.

Nota: en estos límites se puede resolver por el método de cambio de variable para facilitar la resolución del límite

Tareas realizadas:

·         calculo de limites trigonométricos

Libros consultados

• Análisis matemático, Eduardo Espinoza Ramos, Lima Perú

Temas conflictivos:

Limites trigonométricos en donde intervienen funciones muy complejas en donde obligatoria mente se debe aplicar criterios como funciones trigonométricas del ángulo doble, del ángulo mitad entre otras, ya que generalmente alarga el proceso del cálculo del limite

Evaluaciones y comentarios:

El día lunes 19 de agosto se evaluó los conocimientos con una prueba que abordaba los temas: demostración de límites, calculo de límites, calculo de límites que presentan indeterminación, limites laterales, limites al infinito y limites infinitos

Los temas tratados en esta semana se ha han efectuado satisfactoriamente con la ayuda de la ingeniera, expresando con anterioridad todas nuestras dudas e inconvenientes en el desarrollo de los ejercicios.

LIMITES AL INFINITO Y LIMITES INFINITOS

Objetivos:

Aprender a diferenciar entre un límite al infinito y un límite infinito

Adquirir destreza en el desarrollo de límites al infinito

 Adquirir destreza en el desarrollo de límites  infinitos

Subtemas:

·         Limites al infinito

·         Procedimiento para resolver limites al infinito

·         Limites infinitos

·         Procedimiento para resolver limites infinitos

LIMITES AL INFINITO

Se define como limite al infinito cuando la función está definida en el intervalo <x,infinito>. Así tenemos:

De esta manera si la función está definida en el intervalo <x,+infinito>, el límite de la función f(x) tiende a la derecha. Si la función está definida en el intervalo <x,-infinito>, el límite de la función f(x) tiende a la izquierda.

Teorema:

Sea una n un entero positivo cualquiera entonces se cumple:

1. cuando el limite de x tiende al infinito (+) de (1/xn); el limite es igual a 0

2. cuando el limite de x tiende al infinito (-) de (1/xn); el limite es igual a 0

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER LÍMITES AL INFINITO

1.    Verificar a que infinito tiende la función. Sean infinito positivo o infinito negativo. Si solo tiende al infinito se considera infinito positivo

2.    Indicar que indeterminación presenta la función. Sean estas (0/0) o (0-0)

3.    Se racionaliza, o factora según sea el caso

4.    Se simplifica en lo posible

5.    se divide cada termino a la variable de mayor exponente

6.    se aplica los teoremas

7.    finalmente calculamos y expresamos el resultado

LIMITES INFINITOS

Se define como limite infinito cuando la variable x se aproxima o tiende a un valor por la derecha o izquierda.

De esta manera podemos ejemplificar:

En una función en donde x se aproxima a 2 por la derecha, la función f(x) crece sin límite.

encambio, si x se aproxima a 2 por la izquierda, la función f(x) decrece sin límite.

A todo este tipo de límites se les denomina límites infinitos

Teorema:

Si n es un entero positivo cualquiera, entonces:

El limite de una función, cuando x tiende a 0+ de (1/xn) es igual a +infinito

El limite de una función, cuando x tiende a 0- de (1/xn) es igual a: + infinito cuando n es par

o m-infinito cuando n es impar

Propiedades:

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER LIMITES INFINITOS

En este tipo de límites se puede o no presentar indeterminaciones de tipo:  (0/0) o (0-0). De esta manera el procedimiento es:

Si no presenta indeterminación:

1.    se hace un análisis previo para demostrar que no se trata de una indeterminación

2.    por lo general la función se expresa en forma de fracción, si es así se calcula el limite al que tiende la función tanto del numerador como del denominador

3.    se analiza para que lado tiende el cero obtenido

4.    Se aplica los teoremas y propiedades

5.    Finalmente se expresa el resultado, es decir se indica a donde tiende la función

Si presenta indeterminación

1.    se hace un análisis previo para demostrar que  se trata de una indeterminación

2.    se racionaliza o factora según sea el caso

3.    se simplifica en lo posible

4.    Se aplica los teoremas y propiedades

5.    Finalmente se expresa el resultado, es decir se indica a donde tiende la función

Nota: si no se indica a que lado tiende el límite se analiza por ambos extremos y se expresa hacia donde tiende el límite de la función para ambos casos.

Tareas realizadas:

·         calculo de límites al infinito

·         Calculo de limites infinitos

 Libros consultados

• Análisis matemático, Eduardo Espinoza Ramos, Lima Perú

Temas conflictivos:

Limites infinitos que contienen funciones complejas en donde interviene valores absolutos o raíces

Evaluaciones y comentarios:

Los temas tratados esta semana han sido claros, la ingeniera sabe hacerse entender y logra entendimiento del contenido en los estudiantes. Incluso si es necesario, se da el tiempo de personalizar la enseñanza mediante las horas de consulta.