LIMITES TRIGONOMÉTRICOS

Objetivos:

Conocer en qué consiste un límite trigonométrico

Conocer que teoremas se aplican en estos límites

Desarrollar límites aplicando los teoremas correspondientes

Adquirir destreza en el desarrollo de límites trigonométricos

Subtemas

·         Definición de un límite trigonométrico

·         Teoremas aplicados a límites trigonométricos

·         Procedimiento para resolver límites trigonométricos

DEFINICIÓN DE UN LÍMITE TRIGONOMÉTRICO

Se considera limite trigonométrico al límite en el cual la función f(x), es una función trigonométrica. Ejemplo:

Para el cálculo de los limites trigonométricos es necesario tener presenta los teoremas que se cumplen en esta clase de limites

TEOREMAS APLICADOS A LIMITES TRIGONOMÉTRICOS

Para el cálculo de este tipo de límites se pueden aplicar los siguientes teoremas:

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER LIMITES TRIGONOMÉTRICOS

Generalmente los límites trigonométricos expresan indeterminación para lo cual se procede de la siguiente manera:

1.    se hace un análisis previo para demostrar que  se trata de una indeterminación

2.    se realiza operaciones de multiplicación con el fin de lograr aplicar los teoremas en dichas funciones

3.    se analiza y si es el caso se aplican los criterios anteriormente aprendidos como: funciones trigonométricas del ángulo doble, del ángulo mitad entre otras, con el fin de lograr que la función se exprese de tal manera, en la cual se puedan aplicar los teoremas

4.    Se aplica los teoremas y calculamos el valor resultante

5.    Finalmente se expresa el resultado.

Nota: en estos límites se puede resolver por el método de cambio de variable para facilitar la resolución del límite

Tareas realizadas:

·         calculo de limites trigonométricos

Libros consultados

• Análisis matemático, Eduardo Espinoza Ramos, Lima Perú

Temas conflictivos:

Limites trigonométricos en donde intervienen funciones muy complejas en donde obligatoria mente se debe aplicar criterios como funciones trigonométricas del ángulo doble, del ángulo mitad entre otras, ya que generalmente alarga el proceso del cálculo del limite

Evaluaciones y comentarios:

El día lunes 19 de agosto se evaluó los conocimientos con una prueba que abordaba los temas: demostración de límites, calculo de límites, calculo de límites que presentan indeterminación, limites laterales, limites al infinito y limites infinitos

Los temas tratados en esta semana se ha han efectuado satisfactoriamente con la ayuda de la ingeniera, expresando con anterioridad todas nuestras dudas e inconvenientes en el desarrollo de los ejercicios.

LIMITES AL INFINITO Y LIMITES INFINITOS

Objetivos:

Aprender a diferenciar entre un límite al infinito y un límite infinito

Adquirir destreza en el desarrollo de límites al infinito

 Adquirir destreza en el desarrollo de límites  infinitos

Subtemas:

·         Limites al infinito

·         Procedimiento para resolver limites al infinito

·         Limites infinitos

·         Procedimiento para resolver limites infinitos

LIMITES AL INFINITO

Se define como limite al infinito cuando la función está definida en el intervalo <x,infinito>. Así tenemos:

De esta manera si la función está definida en el intervalo <x,+infinito>, el límite de la función f(x) tiende a la derecha. Si la función está definida en el intervalo <x,-infinito>, el límite de la función f(x) tiende a la izquierda.

Teorema:

Sea una n un entero positivo cualquiera entonces se cumple:

1. cuando el limite de x tiende al infinito (+) de (1/xn); el limite es igual a 0

2. cuando el limite de x tiende al infinito (-) de (1/xn); el limite es igual a 0

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER LÍMITES AL INFINITO

1.    Verificar a que infinito tiende la función. Sean infinito positivo o infinito negativo. Si solo tiende al infinito se considera infinito positivo

2.    Indicar que indeterminación presenta la función. Sean estas (0/0) o (0-0)

3.    Se racionaliza, o factora según sea el caso

4.    Se simplifica en lo posible

5.    se divide cada termino a la variable de mayor exponente

6.    se aplica los teoremas

7.    finalmente calculamos y expresamos el resultado

LIMITES INFINITOS

Se define como limite infinito cuando la variable x se aproxima o tiende a un valor por la derecha o izquierda.

De esta manera podemos ejemplificar:

En una función en donde x se aproxima a 2 por la derecha, la función f(x) crece sin límite.

encambio, si x se aproxima a 2 por la izquierda, la función f(x) decrece sin límite.

A todo este tipo de límites se les denomina límites infinitos

Teorema:

Si n es un entero positivo cualquiera, entonces:

El limite de una función, cuando x tiende a 0+ de (1/xn) es igual a +infinito

El limite de una función, cuando x tiende a 0- de (1/xn) es igual a: + infinito cuando n es par

o m-infinito cuando n es impar

Propiedades:

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER LIMITES INFINITOS

En este tipo de límites se puede o no presentar indeterminaciones de tipo:  (0/0) o (0-0). De esta manera el procedimiento es:

Si no presenta indeterminación:

1.    se hace un análisis previo para demostrar que no se trata de una indeterminación

2.    por lo general la función se expresa en forma de fracción, si es así se calcula el limite al que tiende la función tanto del numerador como del denominador

3.    se analiza para que lado tiende el cero obtenido

4.    Se aplica los teoremas y propiedades

5.    Finalmente se expresa el resultado, es decir se indica a donde tiende la función

Si presenta indeterminación

1.    se hace un análisis previo para demostrar que  se trata de una indeterminación

2.    se racionaliza o factora según sea el caso

3.    se simplifica en lo posible

4.    Se aplica los teoremas y propiedades

5.    Finalmente se expresa el resultado, es decir se indica a donde tiende la función

Nota: si no se indica a que lado tiende el límite se analiza por ambos extremos y se expresa hacia donde tiende el límite de la función para ambos casos.

Tareas realizadas:

·         calculo de límites al infinito

·         Calculo de limites infinitos

 Libros consultados

• Análisis matemático, Eduardo Espinoza Ramos, Lima Perú

Temas conflictivos:

Limites infinitos que contienen funciones complejas en donde interviene valores absolutos o raíces

Evaluaciones y comentarios:

Los temas tratados esta semana han sido claros, la ingeniera sabe hacerse entender y logra entendimiento del contenido en los estudiantes. Incluso si es necesario, se da el tiempo de personalizar la enseñanza mediante las horas de consulta.

CALCULO DE LÍMITES, INDETERMINACION Y LIMITES LATERALES

Objetivos:

Comprender el teorema de unicidad del límite

Conocer y aplicar las propiedades sobre límites de funciones

Adquirir destreza en el desarrollo de límites

Subtemas

·         Propiedades sobre los límites de funciones

·         Procedimiento para resolver limites cuando se presentan indeterminaciones

·         Limites laterales

·         Limites en donde se utiliza la lateralidad

·         Parte entera

PROPIEDADES SOBRE LOS LIMITES DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones tales que:

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER LÍMITES

1.    Identificar el número de funciones

2.    Que operaciones se realizan con estas funciones

3.    Calcular en forma dependiente el límite de cada función

4.    Verificar hipótesis aplicando el procedimiento adecuado

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER LIMITES CUANDO SE PRESENTAN INDETERMINACIONES

Considerándose indeterminación a:  0/0

1.    Identificar el número de funciones

2.    Hacer un análisis para comprobar que se trata de una indeterminación

3.    Factorar la función

4.    Simplificar en lo posible

5.    Reemplazar  las variables al valor al que tiende la función

6.    expresar el resultado

Cuando se trata de raíces:

1.    Identificar el número de funciones

2.    Hacer un análisis para comprobar que se trata de una indeterminación

3.    Racionalizar la función

4.    Factorar lo posible

5.    simplificar

6.    Reemplazar  las variables al valor al que tiende la función

7.    expresar el resultado

LIMITES LATERALES

Depende del comportamiento de la función: puede tender por la derecha o por la izquierda

Cuando tiende por la derecha:

Cuando tiende por la izquierda:

Para que exista el limite de x que tiende a, a de f(x) debe de cumplirse la condición siguiente:

Existe el límite de una función sí y solo si, existen los límites laterales y son iguales

Observación: no existe el limite de x que tiende a, a de f(x) en los siguientes casos:

1. cuando no existen uno de los limites laterales

2.    cuando los limites laterales existen y son diferentes

LIMITES EN DONDE SE UTILIZA LA LATERALIDAD

1.    en valor absoluto

Cuando se presentan valores absolutos se deben analizar la lateralidad para ambos extremos: tanto para la derecha como para la izquierda.

Si la función presenta indertiminacion primero se factora y simplifica y luego se procede a calcular la lateralidad

2.    en raíces

Cuando se presentan raíces se debe calcular la lateralidad únicamente cuando tiende a la derecha

3.    en funciones dadas por intervalos

En este caso se representa la lateralidad únicamente en el intervalo que señala las condiciones

PARTE ENTERA

La parte entera es uno de los casos que en los que se debe aplicar limites laterales.

El procedimiento para calcular la lateralidad es el siguiente:

1.    se analiza la lateralidad de la parte entera para ambos extremos es decir se analiza cundo tiende a la derecha e izquierda

2.    cuando la función ese expresa en forma de fracción, se analiza las partes enteras del numerador y del denominador cuando tienden a la derecha y a la izquierda

3.    cuando el limite indica que tiende a determinado extremo, se analiza la lateralidad de la parte entera únicamente cuando tiende al extremo indicado

4.    se concluye que existe o no el limite.

Tareas realizadas:

·         calculo de limites laterales

·         Calculo de limites laterales cuando presentan parte entera

Libros consultados:

• Análisis matemático, Eduardo Espinoza Ramos, Lima Perú

Temas conflictivos:

Calculo de la lateralidad de límites en funciones dadas por intervalos

Evaluaciones y comentarios:

Los subtemas tratados en clase no tuvieron gran complejidad con la ayuda de la ingeniera, gracias a que sintetizo la materia y se dio a entender eficientemente logrando la comprensión del tema.